小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（2 ，0），F（，﹣ ）．

1.

小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（ $\text{[math]}$ ，0），E（2 $\text{[math]}$ ，0），F（ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ）．

(1) 他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°得到△A₁B₁C₁ ．请你写出点A₁ ， B₁的坐标，并判断A₁C和DF的位置关系；

(2) 他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2 $\text{[math]}$ x²+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式；

(3) 他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x²上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．

【考点】

平移的性质; 旋转的性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．

(1) 求∠DCE的度数；

(2) 若AB=4，CD=3AD，求DE的长．

综合题普通

(1) 如图1.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是.（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）

(2) 将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3) 将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为.

综合题困难

问题发现：

(1) 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC， ∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是.

(2) 在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；

(3) 如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度.

综合题困难