已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx

1. 已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx

(1) 若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；

(2) 当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 利用导数研究曲线上某点切线方程;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直.

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值；

(3) 证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难