如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．

如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l₁：y=2x+3，直线l₂：y=2x﹣3．

(1) 分别求直线l₁与x轴，直线l₂与AB的交点坐标；

(2) 已知点M在第一象限，且是直线l₂上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

(3) 我们把直线l₁和直线l₂上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

【考点】

矩形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

综合题普通

综合题普通

问题呈现：

（Ⅰ）如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD ．（S表示面积）

（Ⅱ）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁ ，得到矩形A₁B₁C₁D₁ ．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD+S $\text{[math]}$ ．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_四边形_EFGH、S_矩形_ABCD与S $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

（Ⅲ）迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

⑴如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_四边形_EFGH=11，HF= $\text{[math]}$ ，求EG的长．

⑵如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= $\text{[math]}$ ，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

综合题困难