记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．

1. 记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁ ， t₂ ， …，t_k}，定义S_T= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆ ．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．

(1) 求数列{a_n}的通项公式；

(2) 对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；

(3) 设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D ，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D ．

【考点】

集合间关系的判断; 等比数列的通项公式; 数列的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 中存在三个互不相同的元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均属于 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”．

(1) 试判断集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否为集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

(2) 如果一个集合中含有三个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，同时满足① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $\text{[math]}$ ．对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ，证明：集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 的任意含有 $\text{[math]}$ 个元素的子集都是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

2. 设集合 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是正整数，记 $\text{[math]}$ ．对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在整数k，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是满足 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ 的数对 $\text{[math]}$ 的个数．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 设A中最小的元素为a，求使得 $\text{[math]}$ 取到最大值时的所有集合A．

解答题困难

3. 已知正项数列{ $\text{[math]}$ }满足 $\text{[math]}$ ,且 $\text{[math]}$ =1, $\text{[math]}$ =9。

(1) 求数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ,求数列{ $\text{[math]}$ }的前4项和 $\text{[math]}$ 。

解答题普通