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1. 已知复数
满足
则
.
【考点】
复数的模;
【答案】
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1. 复数
满足
填空题
容易
2. 已知复数z满足
, 则z的模长为
.
填空题
容易
3. 若复数
的模等于
, 则实数
.
填空题
容易
1. 已知复数
,那么复数z的模为
.
填空题
普通
2. 已知复数
满足
,则
的最小值是
.
填空题
普通
3. 设i为虚数单位,复数z满足|z|﹣
=2+4i(
为z的共轭复数),则z=
.
填空题
普通
1. 已知复数
满足
是虚数单位
, 则
( )
A.
B.
C.
D.
单选题
容易
2. 已知
, 则|z|
2
=( )
A.
B.
1
C.
2
D.
5
单选题
容易
3. 已知复数
则
( )
A.
B.
C.
5
D.
单选题
普通
1. 设
f
(
z
)是一个关于复数
z
的表达式,若
f
(
x
+
yi
)=
x
1
+
y
1
i
(其中
x
,
y
,
x
1
,
y
1
∈R,
i
为虚数单位),就称
f
将点
P
(
x
,
y
)“
f
对应”到点
Q
(
x
1
,
y
1
).例如:
将点(0,1)“
f
对应”到点(0,﹣1).
(1)
若
f
(
z
)=
z
+1(
z
∈C),点
P
1
(1,1)“
f
对应”到点
Q
1
, 点
P
2
“对应”到点
Q
2
(1,1),求点
Q
1
、
P
2
的坐标.
(2)
设常数
k
,
t
∈R,若直线
l
:
y
=
kx
+
t
,
f
(
z
)=
z
2
(
z
∈C),是否存在一个有序实数对(
k
,
t
),使得直线
l
上的任意一点
P
(
x
,
y
)“
f
对应”到点
Q
(
x
1
,
y
1
)后,点
Q
仍在直线
l
上?若存在,试求出所有的有序实数对(
k
,
t
);若不存在,请说明理由.
(3)
设常数
a
,
b
∈R,集合
D
{
z
|
z
∈C且
Rez
>0}和
A
={
w
|
w
∈C且|
w
|<1},若
满足:①对于集合
D
中的任意一个元素
z
, 都有
f
(
z
)∈
A
;②对于集合
A
中的任意一个元素
w
, 都存在集合
D
中的元素
z
使得
w
=
f
(
z
).请写出满足条件的一个有序实数对(
a
,
b
),并论证此时的
f
(
z
)满足条件.
解答题
困难
2. 任意一个复数
的代数形式都可写成复数三角形式,即
, 其中
为虚数单位,
. 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立.设两个复数用三角函数形式表示为:
, 则:
. 如果令
, 则能导出复数乘方公式:
. 请用以上知识解决以下问题.
(1)
试将
写成三角形式;
(2)
试应用复数乘方公式推导三倍角公式:
;
;
(3)
计算:
的值.
解答题
困难
3. 设
是一个关于复数
z
的表达式,若
(其中
x
,
y
,
,
为虚数单位),就称
f
将点
“
f
对应”到点
. 例如
将点
“
f
对应”到点
.
(1)
若
点
“
f
对应”到点
, 点
“
f
对应”到点
, 求点
、
的坐标;
(2)
设常数
,
, 若直线
l
:
,
, 是否存在一个有序实数对
, 使得直线
l
上的任意一点
“对应”到点
后,点
Q
仍在直线
上?若存在,试求出所有的有序实数对
;若不存在,请说明理由;
(3)
设常数
,
, 集合
且
和
且
, 若
满足:①对于集合
D
中的任意一个元素
z
, 都有
;②对于集合
A
中的任意一个元素
, 都存在集合
D
中的元素
z
使得
. 请写出满足条件的一个有序实数对
, 并论证此时的
满足条件.
解答题
困难
1. 若复数
满足
,则
( )
A.
1
B.
5
C.
7
D.
25
单选题
容易
2. 若
.则
( )
A.
B.
C.
D.
单选题
容易
3. 若z=1+i,则|z
2
–2z|=( )
A.
0
B.
1
C.
D.
2
单选题
容易