已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．

1.

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0， $\text{[math]}$ ）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．

(1) 求抛物线y=ax²+bx+c的解析式.

(2) 若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等.

(3)

设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y=﹣1的垂线．垂足分别为M、F、N（如图二）．求证：PF⊥QF．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数解析式；

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求点 $\text{[math]}$ 坐标；

(3) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移得到新抛物线，直线 $\text{[math]}$ 与新抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求新抛物线的解析式．

综合题普通

2. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 $\text{[math]}$ 为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：

水平距离x/cm	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度y/cm	28.75	33	45	49	45	33	0

(1) ①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；

②求满足条件的抛物线解析式：

(2) 技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度 $\text{[math]}$ ，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 $\text{[math]}$ 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 $\text{[math]}$ 为274cm，球网 $\text{[math]}$ 高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 $\text{[math]}$ 的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 $\text{[math]}$ 处时，击球高度 $\text{[math]}$ 的值（乒乓球大小忽略不计）．

综合题普通

3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、B顶点为C．

(1) 求该抛物线的表达式；

(2) 将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果 $\text{[math]}$ ，求平移的距离；

(3) 设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在 $\text{[math]}$ 内，求m的取值范围．

综合题普通