如果函数的定义域为R,且存在实常数 ,使得对于定义域内任意 ,都有成立,则称此函数为“完美函数”.

1. 如果函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R,且存在实常数 $\text{[math]}$ ,使得对于定义域内任意 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$ 成立,则称此函数 $\text{[math]}$ 为“完美 $\text{[math]}$ 函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是否为“完美 $\text{[math]}$ 函数”.若它是“完美 $\text{[math]}$ 函数”,求出所有的 $\text{[math]}$ 的取值的集合；若它不是,请说明理由.

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ 是“完美 $\text{[math]}$ 函数”,且 $\text{[math]}$ 是偶函数.且当0 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

函数的概念及其构成要素; 奇偶函数图象的对称性; 函数的周期性;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）图象关于 $\text{[math]}$ 对称；

(1) 若当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 恒有意义，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 最小值.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 类函数”．

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 类函数”，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时的最大值和最小值；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 类函数”，是否存在一次函数 $\text{[math]}$ （常数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，说明理由．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称？若存在求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，

①求使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值 $\text{[math]}$ ．

解答题困难