我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设，，为三角形三边，为面积，则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 ②

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1. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三角形三边， $\text{[math]}$ 为面积，则 $\text{[math]}$ ①

这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $\text{[math]}$ （周长的一半），则 $\text{[math]}$ ②

(1) 尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2) 问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\text{[math]}$ ②或者② $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ；

(3) 问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $\text{[math]}$ 的内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，三角形三边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，仍记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三角形面积，则 $\text{[math]}$ .

【考点】

三角形的内切圆与内心;

【答案】

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综合题普通

1. 下列命题是真命题的是（）

A. 对顶角相等 B. 平行四边形的对角线互相垂直 C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形

单选题容易

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）.

填空题普通

3. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．

填空题普通