定义在上的函数满足，且函数在上是增函数．

1. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数．

(1) 求 $\text{[math]}$ ，并证明函数 $\text{[math]}$ 是偶函数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ．

【考点】

函数的奇偶性; 奇偶性与单调性的综合; 抽象函数及其应用;

【答案】

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解答题困难

1. 若存在有限个 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不是偶函数，则称 $\text{[math]}$ 为“缺陷偶函数”，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的偶点.

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的偶点.

(2) 若 $\text{[math]}$ 均为定义在 $\text{[math]}$ 上的“缺陷偶函数”，试举例说明 $\text{[math]}$ 可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”.

(3) 对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ .

①比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

②若 $\text{[math]}$ 是“缺陷偶函数”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.

(1) 判断函 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知幂函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 图像不过原点.

(1) 求出 $\text{[math]}$ 的表达式，并写出它的单调区间；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并证明.

解答题普通