如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

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1. 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

(1) 求证：∠E＝ $\text{[math]}$ ∠C；

(2) 如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；

(3) 如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

三角形内角和定理; 角平分线的性质; 相似三角形的性质;

【答案】

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综合题普通

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：

(1) 当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？

(2) 设四边形ADPQ的面积为y（cm²），试确定y与t的函数关系式；

(3) 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S_四边形_ADPQ：S_△_PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．

综合题困难

如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

(1) 发现：在图1中， $\text{[math]}$ =；

(2)

应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 $\text{[math]}$ 的值；

(3)

拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

(1)

如图2，当点N落在BD上时，求t的值；

(2) 当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；

(3) 当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；

(4) 写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．

综合题困难