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1. 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

(1) 求证：∠E＝ ∠C；
(2) 如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
(3) 如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出 的值.
【考点】
三角形内角和定理; 角平分线的性质; 相似三角形的性质;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
换一批
1.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：

(1) 当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
(2) 设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
(3) 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．
综合题 困难
2.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1) 当a=2时，解答下列问题：

①QB=，PD=．（用含t的代数式分别表示）
(2) 当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．
(3) 当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．
综合题 普通
3.

如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

(1) 当AP=CP时，求QP；
(2) 若四边形PMQN为菱形，求CQ；
(3) 探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？
综合题 困难