已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C ，．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2) 过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为M ，求证：四边形ADBM为正方形；

(3) 点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 $\text{[math]}$ 面积最大时，求点P的坐标；

(4) 若点Q为线段OC上的一动点，问： $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 解直角三角形的其他实际应用; 二次函数y=ax²+bx+c的性质; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．

(1) 如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；

(2) 爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）

综合题普通

2. 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作 $\text{[math]}$ ，垂足为N，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 设 $\text{[math]}$ 米，则 $\text{[math]}$ 的长为． (用含x的代数式表示)

(2) 请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 $\text{[math]}$ )．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

综合题普通

3. 如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．

(1) 求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；

(2) 求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）

综合题普通