如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

1. 如图一，在射线 $\text{[math]}$ 的一侧以 $\text{[math]}$ 为一条边作矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 问题探究：动点 $\text{[math]}$ 在运动的过程中，

①是否能使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，如果能，求出线段 $\text{[math]}$ 的长度；如果不能，请说明理由．

② $\text{[math]}$ 的大小是否改变？若不改变，请求出 $\text{[math]}$ 的大小；若改变，请说明理由．

(3) 问题解决：

如图二，当动点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 矩形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，矩形ABCD ，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E ．过点D作DH⊥BE于H ， G为AC中点，连接GH ．

(1) 求证：BE＝AC ．

(2) 判断GH与BE的数量关系并证明．

综合题普通

问题呈现：

（Ⅰ）如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD ．（S表示面积）

（Ⅱ）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁ ，得到矩形A₁B₁C₁D₁ ．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD+S $\text{[math]}$ ．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_四边形_EFGH、S_矩形_ABCD与S $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

（Ⅲ）迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

⑴如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_四边形_EFGH=11，HF= $\text{[math]}$ ，求EG的长．

⑵如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= $\text{[math]}$ ，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

综合题困难

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 $\text{[math]}$ ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1) 填空：点B的坐标为；

(2) 是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3) ①求证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

综合题困难