如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

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1. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 轴上方作正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数关系表达式；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合）上运动至何处时，线段 $\text{[math]}$ 的长有最大值？并求出这个最大值；

(3) 在第四象限的抛物线上任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．请问： $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 $\text{[math]}$ 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 $\text{[math]}$ 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 $\text{[math]}$ ，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1) 求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 $\text{[math]}$ 和守门员（点 $\text{[math]}$ ）的距离；

(2) 运动员（点 $\text{[math]}$ ）要抢到第二个落点 $\text{[math]}$ ，他应再向前跑多少米？（假设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，结果保留根号）

综合题普通

2. 二次函数 $\text{[math]}$ （a、b为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象经过点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，若该函数图象与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

综合题普通

3. 已知二次函数y=mx²-4mx-4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．

(1) 求点A，B的坐标；

(2) 若m＜-2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；

(3) 若方程mx²-4mx-4=0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．

综合题普通