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1. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E.

(1) 如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC＝EF；
(2) 如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝ ，求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）
【考点】
全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 轴对称的应用-最短距离问题; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
换一批
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

(1) 如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；
(2) 如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3) 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3.求CG的长.
综合题 困难
2. 数学课上，李老师出示范了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1) 特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）；
(2) 特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）.理由如下：

如图2过点E作EF∥BC，交AC于点F；（请你完成以下解答过程）
(3) 拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.
综合题 困难
3. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

(1) 如图②，作出点A关于l的对称点 ，线 与直线 的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点 ，连接 ， ， 证明 ， 请完成这个证明.

(2) 如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.
综合题 普通