为评估设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/ 78 79 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 93 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

1. 为评估 $\text{[math]}$ 设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/ $\text{[math]}$	78	79	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	93	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值 $\text{[math]}$ ，标准差 $\text{[math]}$ ，以频率值作为概率的估计值.

(1) 为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 $\text{[math]}$ ，并根据以下不等式进行评判（ $\text{[math]}$ 表示相应事件的频率）：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断 $\text{[math]}$ 设备的性能等级.

(2) 将直径小于等于 $\text{[math]}$ 的零件或直径大于等于 $\text{[math]}$ 的零件认定为是“次品”，将直径小于等于 $\text{[math]}$ 的零件或直径大于等于 $\text{[math]}$ 的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数 $\text{[math]}$ 的数学期望.

【考点】

离散型随机变量及其分布列;

【答案】

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解答题普通

1. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2) 若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 $\text{[math]}$ ，求p的值；

(3) 在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列．

解答题困难

2. 设 $\text{[math]}$ 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 是二维离散型随机变量 $\text{[math]}$ 的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ·	…
…	…	…	…	…