小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

1. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1) 温故：如图1，在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

(2) 操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，画正方形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 在△ $\text{[math]}$ 内，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点N，画 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，得到四边形P $\text{[math]}$ ．小波把线段 $\text{[math]}$ 称为“波利亚线”．

推理：证明图2中的四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

(3) 拓展：在(2)的条件下，于波利亚线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (如图3)．当 $\text{[math]}$ 时，猜想∠ $\text{[math]}$ 的度数，并尝试证明．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 相似三角形的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

(1) 【问题情境建构函数】

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ .

(2) 【由数想形新知初探】

在上述表达式中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成函数关系，其图像如图2所示.若 $\text{[math]}$ 取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.

(3) 【数形结合深度探究】

在“ $\text{[math]}$ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大；②函数值 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图像上存在四点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

(4) 【抽象回归扩展总结】

若将（1）中的“AB=4”改成“ $\text{[math]}$ ”，此时 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式是 .一般地，当 $\text{[math]}$ 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.

综合题困难

3. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1) 已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3) 如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\text{[math]}$ 的值。

综合题困难