已知， .

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 根据《中华人民共和国道路交通安全实施条例》第78条规定，高速公路应当标明车道的行驶速度，某高速公路标明，正常行驶车辆的最高车速不能超过120km/h，最低车速不能低于60km/h，设计该高速公路时，还要求安全车距S（单位：米）应随着车速v（单位km/h）的增大而增大，且满足关系 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （单位：米）表示该高速公路的最小车距是定值．

(1) 求最小车距 $\text{[math]}$ ；

(2) 若车速v（单位：km/h）与每小时车流量Q满足关系 $\text{[math]}$ ，则这条高速公路每小时车流量最大时，安全车距S至少为多少米？

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

解答题困难

3. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋ $\text{[math]}$ ＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1) 求f(50)的值；

(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？

解答题普通