新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

1. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

(1) 初步尝试

如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP为偏等积三角形.

(2) 理解运用

如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长.

(3) 综合应用

如图3，已知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，F为CD的中点.请根据上述条件，回答以下问题：

①∠CAD+∠BAE的度数为 °；

②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程.

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1) 【模型呈现】

如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 于点C ，过点D作 $\text{[math]}$ 的延长线于点E.由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ .又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可以推理得到 $\text{[math]}$ ，进而得到AC=，BC=.（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.

(2) 【模型应用】

①如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接BC、DE ，且 $\text{[math]}$ 于点H ， DE与直线AH交于点G ，求证：点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标.

实践探究题困难

2. 如下是某书中某一页的部分内容：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 画直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

证明： $\text{[math]}$ （已知）

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （两直线平行，内错角相等）.

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （已证），

$\text{[math]}$ （已知），

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ （全等三角形的对应边相等）.

图（1）图（2）图（3）

(1) 【方法应用】如图（1），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是；

(2) 【猜想证明】如图（2），在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，试猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想.

(3) 【拓展延伸】如图（3），已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长。

实践探究题困难

(1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE.

(2) 组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点.

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