如图，抛物线与x轴交于点和点B ，与y轴交于点，其顶点为D ．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点为D ．

(1) 求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2) 在y轴上是否存在一点M ，使得 $\text{[math]}$ 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 若点E在以点 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE ，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF ，连结BF ．求BF的取值范围．

【考点】

轴对称的应用-最短距离问题; 二次函数-动态几何问题; 二次函数-线段周长问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求此抛物线的函数解析式．

(2) 点 $\text{[math]}$ 是直线BC上方抛物线上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交直线BC于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，请探究 $\text{[math]}$ 是含有最大值?若有最大值，求出最大值及此时 $\text{[math]}$ 点的坐标；若没有最大值，请说明理由．

(3) 点 $\text{[math]}$ 为该拋物线上的点，当 $\text{[math]}$ 的，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

综合题困难

2. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在原点的左侧，点 $\text{[math]}$ 在原点的右侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图1 图2

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 如图1，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为抛物线顶点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的两个动点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 点左边且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线下方抛物线上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求满足条件的 $\text{[math]}$ 点的横坐标．

综合题困难

3. 已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．

(1) 如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；

(2) 在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；

(3) 如图2，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难