如图，在边长为2的正方形中，E是边CD上一点（不与点C，D重合），连接，点D关于的对称点为F ，连接并延长交边于点与相交于点．

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1. 如图，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边CD上一点（不与点C，D重合），连接 $\text{[math]}$ ，点D关于 $\text{[math]}$ 的对称点为F ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断AE与DG的数量关系，并证明；

(2) 当点F落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 当E为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质; 解直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题普通

1. （1）【操作发现】如图15，将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为 $\text{[math]}$ ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）【拓展探究】如图16，继续将正方形纸片沿 $\text{[math]}$ 继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕 $\text{[math]}$ 上的点N处，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P．若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

（3）【迁移应用】如图17，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．