如图，在四边形中，，且．

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出A ， C ， D三点的坐标．

(2) 点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P ， Q运动的时间为 $\text{[math]}$ ．

①求t为多少时， $\text{[math]}$ ．

②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，点F在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求点F的坐标．

【考点】

三角形全等的判定; 等腰三角形的判定与性质; 平行四边形的判定与性质; 矩形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 综合与实践

问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．

问题1：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？

小明： $\text{[math]}$ ．

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （依据1）

∴ $\text{[math]}$

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （依据2）．

∴ $\text{[math]}$

问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？

小亮： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ BC．

理由如下：…．

问题3：如图3，在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？

小慧： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ BC， $\text{[math]}$ ．

…

数学思考：

(1) 请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”：

依据1：；依据2：．

(2) 请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！）

(3) 问题解决：

请用图3写出三角形中位线定理的证明过程．

综合题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次连接，得到四边形 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互余，求 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题普通

3. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，

(1) 求AE的长；

(2) 是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(3) 当时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”

综合题困难