综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：

1.综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如 $\text{[math]}$ ，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，可知当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：

(1) 知识过关：请用适当的数字填空： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 知识应用：已知 $\text{[math]}$ 是任何实数，若 $\text{[math]}$ ，通过计算判断 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为 $\text{[math]}$ 米．

①试用 $\text{[math]}$ 的代数式表示菜园的面积 $\text{[math]}$ ；

②求出当 $\text{[math]}$ 取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米?

【考点】

完全平方公式及运用; 偶次方的非负性; 配方法的应用;

【答案】

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实践探究题未知困难

1.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法 $\text{[math]}$ 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法 $\text{[math]}$ 这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

我们定义：一个整数能表示成 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是整数 $\text{[math]}$ 的形式，则称这个数为“完美数” $\text{[math]}$ 例如， $\text{[math]}$ 是“完美数” $\text{[math]}$ 理由：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是“完美数”．

【解决问题】

(1) 数 $\text{[math]}$ “完美数” $\text{[math]}$ 填“是”或“不是” $\text{[math]}$ ；

(2) 【探究问题】

已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是整数， $\text{[math]}$ 是常数 $\text{[math]}$ ，要使 $\text{[math]}$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $\text{[math]}$ 值，并说明理由．

(4) 【拓展结论】

已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题未知困难

2.材料一：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．

材料二：把形如 $\text{[math]}$ 的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $\text{[math]}$ ．

例如：我们可以将代数式 $\text{[math]}$ 进行变形，其过程如下：

$\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，因此，该式有最小值1．

(1) 已知多项式M是多项式N的“雅常式”，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出M关于N的“雅常值”；

(2) 多项式 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求出n的值；若 $\text{[math]}$ （m为常数）是Q的“雅常式”，求P关于Q的“雅常值”．

实践探究题未知困难

3.已知平面内三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

动手操作：在如图所示的平面直角坐标系中描出A，B，C三点，并连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

观察发现：写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点坐标，观察中点坐标与线段两个端点的坐标，你能发现什么规律？

猜想验证：连接 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 中点的坐标；

总结应用：已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 中点的坐标．

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