如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N ，使，连接交于点P ．

1. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中，点M为 $\text{[math]}$ 上任意一点，延长 $\text{[math]}$ 至点N ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 作 $\text{[math]}$ 于点H ，设 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

平行线的性质; 三角形全等及其性质; 等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF交于点G，求 $\text{[math]}$ 的度数；

$\text{[math]}$ 如图2，点M是BC延长线上一点， $\text{[math]}$ ， MN交 $\text{[math]}$ 的外角平分线于点N，求 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 如图3，过点A作 $\text{[math]}$ 于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边 $\text{[math]}$ ，连DQ，则DQ的最小值是______．

解答题困难

2. 如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC ，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F ， DO＝FO ．

(1) 求证：△BDE是等边三角形；

(2) 若AC＝7，FC＝3，求OC的长．

解答题普通

3. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ．（用 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(2) 当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始运动，同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，是否存在这样 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通