在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点.

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

(2) 证明：无论 $\text{[math]}$ 为何值，抛物线必过定点 $\text{[math]}$ ，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 在(1)的条件下，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知：二次函数. $\text{[math]}$ (m是常数).

(1) 求该二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示).

(2) 若该二次函数图象与直线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点(点A在点B的右侧)，这两点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 是个定值.

(3) 已知点P(1，1)， $\text{[math]}$ 若该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，求m的取值范围.

解答题普通

2. 已知二次函数y=ax²+bx+2的图象经过点A（2，2）．

(1) 若直线y=x与抛物线 $\text{[math]}$ 相交所得的线段长为 $\text{[math]}$ 求a的值：

(2) 若抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于M（x₁ ， 0）和N（x₂ ， 0）两点（x₁＜x₂），且2x₁+x₂＞0，直接写出a的取值范围．

解答题普通

3. 随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器风，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y 与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

(1) 当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系热．

(2) 设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m= $\text{[math]}$ x+1来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格×销售数量）

解答题普通