观察下列关于自然数的等式：， ① ， ② ， ③……根据上述规律解决下列问题.

1. 观察下列关于自然数的等式：

$\text{[math]}$ ， ①

$\text{[math]}$ ， ②

$\text{[math]}$ ， ③

……

根据上述规律解决下列问题.

(1) 写出第四个等式；

(2) 写出你猜想的第 $\text{[math]}$ 个等式.（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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解答题普通

1. 【核心素养】观察下面三行数：

$\text{[math]}$ ；①

$\text{[math]}$ ；②

$\text{[math]}$ ． ③

(1) 第①行的第 $\text{[math]}$ 个数是_____；

(2) 若第①行某列的数是 $\text{[math]}$ ，则第②行该列的数是_____．

(3) 取每行数的第7个数，计算这三个数的和．

解答题普通

2. 在数学兴趣活动中，小容为了求 $\text{[math]}$ 的值，写出下列解题过程．

解：设 $\text{[math]}$ ①

两边同乘以2得： $\text{[math]}$ ②

由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ．

(1) 应用结论：根据题目的结论，直接写出： $\text{[math]}$ _________；

(2) 模仿计算：请模仿题目中的算法计算： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为 $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．

$\text{[math]}$

根据以上材料，解决下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的值为______， $\text{[math]}$ 的值为______；

(2) 如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”．

①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

②与23“模二相加不变”的两位数有______个．

解答题困难