如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图，等腰与等腰中，，，，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．

1. 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图 $\text{[math]}$ ，等腰 $\text{[math]}$ 与等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．

(1) 【模型探究】

如图 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

(2) 【应用模型】

如图 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 直接写出在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的最短距离．

【考点】

三角形全等及其性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理的应用; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径 $\text{[math]}$ 通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1) 发现问题：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 请猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；

(3) 拓展延伸：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．

实践探究题困难

(1) 【问题提出】在一次课上，老师出了这样一道题：在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD到点G，使 $\text{[math]}$ ，连接AG，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．

(2) 【探索延伸】在四边形ABCD中，如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点， $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立？说明理由．

(3) 【结论运用】如图3，台风中心位于A点，且OA与y轴夹角为 $\text{[math]}$ ，台风中心风力12级，每远离台风中心40海里，风力就会减弱一级．货轮位于B处，且OB与y轴夹角为 $\text{[math]}$ ，并且台风中心和货轮到小岛的距离相等，如果台风中心向正东方向以40海里/小时的速度前进，同时该货轮沿BF方向以60海里/小时的速度前进（即 $\text{[math]}$ ），2小时后，它们分别到达E，F处，且 $\text{[math]}$ ，问此时该货轮受到台风影响的最大风力有几级？

实践探究题普通

图1 图2

(1) 问题背景：如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ . 使 $\text{[math]}$ . 连接 $\text{[math]}$ ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 探索延伸：如图2，若在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立？若成立请说明理由.

实践探究题困难