设双曲线的右焦点为， F到其中一条渐近线的距离为2.

1. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ， F到其中一条渐近线的距离为2.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 $\text{[math]}$ 于点M，

（i）求 $\text{[math]}$ 的值；

（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： $\text{[math]}$ .

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆方程C： $\text{[math]}$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $\text{[math]}$ ，连接AC交椭圆于D ．

(1) 求椭圆方程和离心率；

(2) 若直线BD的斜率为0，求t ．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为左顶点，点 $\text{[math]}$ 为上顶点， $\text{[math]}$ ，不经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过原点且与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值；

(3) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个点组成的四边形的面积的最大值，并求出此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难

3. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上；

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若点P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆C于M ， N两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．

解答题普通