已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．

1. 已知，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出在 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值．

【考点】

三角形全等的判定; 正方形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B，另一条直角边与射线DC交于点E.

(1) 当点E在边DC上时（如图1），求证：

①△PBC ≌△PDC；

②PB=PE.

(2) 当点E在边DC的延长线上时（如图2），（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明.

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 为正方形ABCD的边BC上任意一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在AP的延长线上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结BE，CE

(1) 如图①，若正方形的边长为6，PB=2，求BG的长.

(2) 如图②，当P为BC的中点时，求证：CE：BG= $\text{[math]}$ ∶1.

(3) 当BP：PC=2∶3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在第一象限 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的大小和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若折叠后重合部分为四边形，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示重合部分的面积 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若折叠后重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 直接写出结果即可 $\text{[math]}$ ．

综合题困难