数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与，不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点.

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1. 数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），折痕为 $\text{[math]}$ ，折叠后 $\text{[math]}$ 边落在 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 观察操作结果，在图1中找到一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形，并证明你的结论；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的什么位置时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的比是 $\text{[math]}$ ？请写出求解过程；

(3) 将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），折痕为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9∶25？请写出求解过程.

【考点】

等边三角形的性质; 勾股定理; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：

测量示意图
测量数据	边的长度	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
		②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
		③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$ ．请完成以下任务：

(1) 根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$ ．

(2) 如果小明想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？

综合题普通

2. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索 $\text{[math]}$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将它往前推进两步（ $\text{[math]}$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $\text{[math]}$ 尺），已知 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，求秋千绳索（ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的长度．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动．

(1) 如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？

(2) 几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于 $\text{[math]}$ ？

综合题普通