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1.观察下面的等式： ， ， ， ， …．
(1) 尝试：．
(2) 归纳：（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3) 推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【考点】
因式分解的应用; 探索数与式的规律;
【答案】

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实践探究题 未知 普通
能力提升
真题演练
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1.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 ， 即 ．

【问题提出】求的值（其中是正整数）．

【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．

探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即

探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；分别表示1个的长方形，其面积的和为：；的面积和为 ， 而恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得： ．

(1) 探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：      ▲ =      ▲  ． （要求自己构造图形并写出推证过程）
(2) 【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：=（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
(3) 【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．

例如：棱长是1的正方体有：个，

棱长是2的正方体有：个，

……

棱长是6的正方体有：个；

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为．
(4) 【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为．
(5) 【拓展探究】

观察下列各式：

若（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则的值．
实践探究题 模拟题 困难
2.【学习方法】

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

例如：

图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：

算法Ⅰ：

类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是：

n×n＝n2

算法Ⅱ：

沿虚线将图案分割，可以发现：

第一层虚线内有1枚棋子，

第二层虚线内有3枚棋子，

第三层虚线内有5枚棋子…

第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子，

则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1

由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2

(1) 【类比尝试】

如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论．

算法Ⅰ：

算法Ⅱ：

你发现的结论是．

经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理．
(2) 【拓展探究】

富比尼原理给我们重要的启发：

从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现．

问题：

n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？

问题探究：

为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：

（一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形．

三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？

方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系．

从n＝3，m＝1开始研究：

当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形；

当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形；

当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形；

…

进行从特殊到一般的归纳：

对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加个三角形．

故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝；

方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用．

三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形．

三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形．

三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形．

…

进行从特殊到一般的归纳：

三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成个互不重叠的小三角形．

以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成个互不重叠的小三角形．

（二）在四边形中研究类似的问题．

四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？

方法Ⅰ：

对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加个三角形．

故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝．

方法Ⅱ：

四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成个互不重叠的小三角形．
(3) 问题解决：

对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．
实践探究题 模拟题 困难
3.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

      

(1) 【问题理解】

如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、BC．现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形．
(2) 【拓展探究】

如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD

①已知BC：CD=7：4，△ACD的面积为8，则四边形ABCD的面积为      ▲ ；

②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论．
(3) 【问题解决】

如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD=7，DF=3，且AF的长．
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