研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

1.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

(1) 阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体 $\text{[math]}$ （图1）．因为在平面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点A ，所以直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的 $\text{[math]}$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角．

解决问题

如图1，已知正方体 $\text{[math]}$ ，求既不相交也不平行的两条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小．

(2) 如图2，M ， N是正方体相邻两个面上的点．

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；

②在所选正确展开图中，若点M到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别是2和5，点N到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别是4和3，P是 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

定义新运算; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题真题困难

1.小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，连结BD..

(1) 【探究1】如图1，当α=90°时，点C'恰好在DB的延长线上.若AB=1，求BC的长.

(2) 【探究2】如图2，连结AC，过点D'作D'M //AC'交BD于点M.线段D'M 与 DM 相等吗？请说明理由.

(3) 【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

实践探究题未知困难

2.［材料阅读]

用数形结合的方法，可以探究 $\text{[math]}$ 的值，其中 $\text{[math]}$ ．

例求 $\text{[math]}$ 的值．

方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知

$\text{[math]}$ 的结果等于该正方形的面积，

即 $\text{[math]}$ ．

方法2：借助函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象，观察图②可知

$\text{[math]}$ 的结果等于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ …等各条竖直线段的长度之和，

即两个函数图象的交点到 $\text{[math]}$ 轴的距离．因为两个函数图象的交点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距为1，

所以， $\text{[math]}$ ．

【实践应用】

(1) 任务一完善 $\text{[math]}$ 的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 $\text{[math]}$ ．

方法2：借助函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象，观察图④可知

因为两个函数图象的交点的坐标为，

所以， $\text{[math]}$ ．

(2) 任务二参照上面的过程，选择合适的方法，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 任务三用方法2，求 $\text{[math]}$ 的值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）．

(4) 【迁移拓展】

长宽之比为 $\text{[math]}$ 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．

观察图⑤，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题未知困难

3.已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点E作 $\text{[math]}$ 的平行线，过点B作 $\text{[math]}$ 的平行线，两平行线交于点F，连结 $\text{[math]}$ ．

【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证： $\text{[math]}$ ．（不需证明）

(1) 【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(2) 【拓展延伸】如图③，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为G， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的交点为N，且N为 $\text{[math]}$ 的中点．

$\text{[math]}$ ．

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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