利用折纸可以作出角平分线.

1. 利用折纸可以作出角平分线.

(1) [知识初探]

如图(1)所示，若∠AOB=58°，求∠BOC的度数；

(2) [类比再探]

折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′.如图(2)所示，当点B′在OA′上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；

(3) [类比探究]

如图(3)所示，在图(2)的基础上，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′.若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数.

【考点】

角的运算; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题未知困难

1. 在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开始我们的探究之旅吧！

规律发现：

(1) 点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的中点C表示的数为；

(2) 点A表示的数是﹣7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表示的数为；

(3) 发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为。

(4) 直接运用：
数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为x+2，点B表示的数为2x+3，C表示的数为x﹣4，且AB=AC，则x值为。

(5) 类比迁移：如图：OB⊥OX，OA⊥OC，∠COX＝30°，若射线OA绕O点每秒30°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线OX重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？

问题解答：
设运动时间为t秒，请用含t的式子表示：

$\text{[math]}$ 度；

$\text{[math]}$ 度；

$\text{[math]}$ 度.

(6) 请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间.

实践探究题未知普通

2.阅读材料并回答问题：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，请你补全图形，并求 $\text{[math]}$ 的度数．

同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）

解：如图 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”

请你完成以下问题：

(1) 将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图2中 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 判断同学二的说法是否正确，若错误，请说明理由；若正确，请你在图1中画出一种情况对应的图形，并求 $\text{[math]}$ 的度数．

实践探究题常考题普通

3.【建立概念】

直线a上有三个点A ， B ， C ，若满足 $\text{[math]}$ ，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①， $\text{[math]}$ ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．

(1) 【概念理解】

如图②，直线l上有两个点M ， N ，且 $\text{[math]}$ ．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧）， $\text{[math]}$ ，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m ，则点N对应的数可表示为，点P对应的数可表示为（均用含有m的式子表示）

(3) 【拓展应用】

点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n ，且 $\text{[math]}$ ，点W是线段 $\text{[math]}$ 的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位

若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．

(4) 在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．

实践探究题未知困难