在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.

1. 在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.

(1) 如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝ $\text{[math]}$ EM；

(2) 设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；

(3) 当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.

【考点】

含30°角的直角三角形; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

综合题普通

综合题普通

问题呈现：

（Ⅰ）如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD ．（S表示面积）

（Ⅱ）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁ ，得到矩形A₁B₁C₁D₁ ．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD+S $\text{[math]}$ ．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_四边形_EFGH、S_矩形_ABCD与S $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

（Ⅲ）迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

⑴如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_四边形_EFGH=11，HF= $\text{[math]}$ ，求EG的长．

⑵如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= $\text{[math]}$ ，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

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