设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.

1. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到左右两个焦点 $\text{[math]}$ 的距离之和是4.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 已知过 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且两点与左右顶点不重合，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值。

【考点】

椭圆的定义; 椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 椭圆的应用; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有且只有一个交点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同两点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 最大时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

2. 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，过右焦点 $\text{[math]}$ 与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若线段PQ的中点在y轴上，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 是否存在以 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 为邻边的矩形 $\text{[math]}$ ，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.

解答题普通

3. 已知椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设M，N是椭圆C上的两点，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $\text{[math]}$ ．

解答题困难