我们学习了勾股定理，知道：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是．

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1. 我们学习了勾股定理，知道：在 $\text{[math]}$ 中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系是 $\text{[math]}$ ．

(1) 探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ），请将下面的证明过程补充完整：

证明： $\text{[math]}$ 小正方形的面积可以表示为 $\text{[math]}$ ；

小正方形的面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表示）

$\text{[math]}$ ______________________________

$\text{[math]}$

(2) 应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好落于B处，已知 $\text{[math]}$ 长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即 $\text{[math]}$ 的长）．

【考点】

勾股定理; 勾股定理的证明;

【答案】

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【来源】河北省保定市竞秀区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

证明题普通

1. 著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $\text{[math]}$ ，较小的直角边长都为 $\text{[math]}$ ，斜边长都为 $\text{[math]}$ )，大正方形的面积可以表示为 $\text{[math]}$ ，也可以表示为 $\text{[math]}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

【结论探究】

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；

【结论应用】

(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $\text{[math]}$ ，河边原有两个取水点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由于某种原因，由 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上 $\text{[math]}$ ，并新修一条路 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米，求新路 $\text{[math]}$ 比原路 $\text{[math]}$ 少多少千米？