如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，， E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为矩形， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， E为线段PC上一点， $\text{[math]}$ ，且该四棱锥的体积为 $\text{[math]}$ .

(1) 求AE的长度；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

【考点】

空间向量垂直的坐标表示; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求实数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 已知空间向量列 $\text{[math]}$ ，如果对于任意的正整数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称此空间向量列 $\text{[math]}$ 为“等差向量列”， $\text{[math]}$ 称为“公差向量”；空间向量列 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 且对于任意的正整数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称此空间向量列 $\text{[math]}$ 为“等比向量列”，常数 $\text{[math]}$ 称为“公比”.

(1) 若 $\text{[math]}$ 是“等差向量列”，“公差向量” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 是“等比向量列”，“公比” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是“等差向量列”， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，等式 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 和2均成立，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

解答题困难

3. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为： $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求x的值；

(3) 若D点在平面ABC上，直接写出x的值.

解答题普通