问题提出：如图①所示，在矩形和矩形中，，点A，O，D不在同一直线上，连接．是的中线，那么之间存在怎样的关系？

1. 问题提出：

如图①所示，在矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点A，O，D不在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，那么 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的关系？

(1) 问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的数量关系是________，位置关系是________．

(2) 问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，证明（1）中的结论仍然成立．

(3) 问题解决：回归图①所示，探究 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？

【考点】

正方形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线; 倍长中线构造全等模型;

【答案】

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证明题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

2. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S_四边形_ECBF=3S_△_EDF ，求AE的长；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

证明题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通