为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：睡眠时长（小时）人数150270180注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足．

1. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：

睡眠时长（小时）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
人数	150	270	180

注：睡眠时长在 $\text{[math]}$ 的为睡眠充足，在 $\text{[math]}$ 的为睡眠良好，在 $\text{[math]}$ 的为睡眠不足．

(1) 估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？

(2) 估计该市高三学生日均睡眠时长；

(3) 若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．

【考点】

分层抽样方法; 频率分布表; 古典概型及其概率计算公式;

【答案】

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解答题普通

1. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1) 求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数.

(2) 用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数.

(3) 若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，乙复赛获一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．

解答题普通

2. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高	155	158	156	157	160	161	159	162	169	163

记抽取的第 $\text{[math]}$ 个女生的身高为 $\text{[math]}$ ，样本平均数 $\text{[math]}$ ，方差 $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在 $\text{[math]}$ 范围内的人数；

(2) 用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数 $\text{[math]}$ 和标准差 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为 $\text{[math]}$ ，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以 $\text{[math]}$ 获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 $\text{[math]}$

(1) 三个年级参赛人数各为多少？

(2) 在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率

(3) 记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望 $\text{[math]}$

解答题普通