如图是一款弹球投篮游戏示意图，圆形篮筐水平，其边缘固定在竖直篮板上的E点。游戏者控制小球压缩轻弹簧，小球由静止释放向左弹出，到达A点时弹簧恢复原长；小球沿水平轨道进入圆弧轨道BC，从C点沿切线飞出，小球运动轨迹平面与篮板垂直。某次游戏，小球恰好垂直击中篮板，击中点D在E点正上方。已知小球质量为m；圆弧轨道的半径为R，圆心角， C点到篮板的水平距离为12R，C点与篮筐的高度差为7R，篮筐的直径为R，忽略空气阻力和小球体积大小，不计摩擦，重力加速度为g。

1. 如图是一款弹球投篮游戏示意图，圆形篮筐水平，其边缘固定在竖直篮板上的E点。游戏者控制小球压缩轻弹簧，小球由静止释放向左弹出，到达A点时弹簧恢复原长；小球沿水平轨道进入圆弧轨道BC，从C点沿切线飞出，小球运动轨迹平面与篮板垂直。某次游戏，小球恰好垂直击中篮板，击中点D在E点正上方。已知小球质量为m；圆弧轨道的半径为R，圆心角 $\text{[math]}$ ， C点到篮板的水平距离为12R，C点与篮筐的高度差为7R，篮筐的直径为R，忽略空气阻力和小球体积大小，不计摩擦，重力加速度为g。

(1) 求游戏者释放小球时弹簧的弹性势能 $\text{[math]}$ ；

(2) 求小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力；

(3) 若小球经篮板反弹后能进入篮筐，求碰撞过程小球损失动能的最小值。

【考点】

机械能守恒定律;

【答案】

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解答题困难

1. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 $\text{[math]}$ 的直轨道 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ 、圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ，圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧 $\text{[math]}$ 组成，轨道末端的 $\text{[math]}$ 点为圆弧的最高点，轨道间平滑连接。质量 $\text{[math]}$ 的物块 $\text{[math]}$ 从轨道 $\text{[math]}$ 上高度 $\text{[math]}$ 处以初速度 $\text{[math]}$ 下滑，经圆弧轨道 $\text{[math]}$ 滑上轨道 $\text{[math]}$ 。物块 $\text{[math]}$ 与轨道 $\text{[math]}$ 间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块 $\text{[math]}$ 视为质点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 若初速度 $\text{[math]}$ ，求物块 $\text{[math]}$ 第一次通过 $\text{[math]}$ 点时速度大小 $\text{[math]}$ ；

(2) 若初速度 $\text{[math]}$ ，求物块 $\text{[math]}$ 在轨道 $\text{[math]}$ 上运动的总路程 $\text{[math]}$ ；

(3) 若物块 $\text{[math]}$ 沿轨道 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点滑出， $\text{[math]}$ 应满足什么条件？

解答题困难

2. 如图所示，一半径为R的光滑硬质 $\text{[math]}$ 圆环固定在竖直平面内与光滑足够长的水平杆相连，在圆环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C，质量为m的小球A穿在环上，且可以自由滑动，小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B，细线搭在滑轮上，现将小球A从环上最高点由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

（1）小球A到达D点时细线中的张力；

（2）小球A到达D点时小球B的速度；

（3）小球A运动一个周期小球B的路程。

解答题困难

3. 山地滑雪是人们喜爱的一项运动，一滑雪道ABC的底部是一半径为R的圆，圆与雪道相切于C点，C点的切线水平，C点与水平雪地间距离为H，如图所示，D是圆的最高点，一运动员从A点由静止下滑，刚好能经过圆轨道最高点D旋转一周，再经C后被水平抛出，当抛出时间为t时，迎面水平刮来一股强风，最终运动员以速度v落到了雪地上，已知运动员连同滑雪装备的总质量为m，重力加速度为g，不计遭遇强风前的空气阻力和雪道及圆轨道的摩擦阻力，求：

(1)A、C的高度差为多少时，运动员刚好能过D点？

(2)运动员刚遭遇强风时的速度大小及距地面的高度；

(3)强风对运动员所做的功。

解答题困难