求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．请根据上述材料解决下列问题：

1. 求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．

例如：若代数式 $\text{[math]}$ ，利用配方法求M的最小值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 $\text{[math]}$ ，用几何法求 $\text{[math]}$ 的最小值．如图， $\text{[math]}$ 为线段DC的长度， $\text{[math]}$ 为线段CE的长度，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为 $\text{[math]}$ ．

请根据上述材料解决下列问题：

(1) 若代数式 $\text{[math]}$ ，求M的最小值；

(2) 已知正数x，y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

勾股定理; 配方法的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 综合与实践

【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题．

例：求代数式 $\text{[math]}$ 的最大值．

解：原式 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．

【探索探究】

（1）若k，h满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ __________， $\text{[math]}$ __________．

（2）若等腰 $\text{[math]}$ 的三边长a，b，c均为整数，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【拓展应用】

（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的三边长．根据勾股定理，可得 $\text{[math]}$ ，我们把关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是“勾系一元二次方程” $\text{[math]}$ 的一个根．四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．