如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线顶点，已知 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线对称轴与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，且以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点C，直线 $\text{[math]}$ 经过点B和点C．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点P是抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点E，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ．

①如图1，若动点P在直线 $\text{[math]}$ 上方运动时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点F，试求三角形 $\text{[math]}$ 的周长的最大值．

②如图2，当点P在抛物线上运动时，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标．

解答题困难

2. 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，与x轴的另一交点为C．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 若点M在直线 $\text{[math]}$ 上，且在第四象限，过点M作 $\text{[math]}$ 轴于点N．

①若点N在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求点M的坐标；

②以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ （点P在 $\text{[math]}$ 右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图1，点P为线段 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的任意一点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于D， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3) 如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难