我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……

1. 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了 $\text{[math]}$ （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：

$\text{[math]}$ ，它只有一项，系数为1；

$\text{[math]}$ ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

$\text{[math]}$ ，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；

$\text{[math]}$ ，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……

(1) 写出 $\text{[math]}$ 的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．

(2) $\text{[math]}$ 的展开式共有__________项，系数和为__________．

(3) $\text{[math]}$ 展开式共有__________项，系数和为__________．

【考点】

多项式乘多项式; 探索数与式的规律;

【答案】

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解答题普通

1. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 $\text{[math]}$ （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式中的系数．

(1) 根据上面的规律不难发现， $\text{[math]}$ 的展开式共有____________项，请写出它的展开式 $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ 的展开式共有__________项，系数和为___________；

(3) 利用上面的规律计算： $\text{[math]}$ ；

(4) 运用：若今天是星期二，经过 $\text{[math]}$ 天后是星期___________．

解答题普通

2. 观察下列算式特征，并完成相应任务．

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ．

(1) 任务一：发现与表达

请用含字母的算式表示以上算式的一般特征：．

(2) 任务二：问题与解决

如果 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为整数，则 $\text{[math]}$ 的取值有____ ．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

(3) 任务三：拓展与猜想

若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式 $\text{[math]}$ ，请利用这一方法解决下列问题：

(1) 观察图2，写出所表示的数学等式：________=________．

(2) 观察图3，写出所表示的数学等式：________=________．

(3) 已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．请利用（2）中的结论求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通