已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”.

1. 已知 $\text{[math]}$ 为实数，用 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，例如 $\text{[math]}$ ，对于函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是否是“ $\text{[math]}$ 函数”；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的周期函数，其最小正周期是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 不是“ $\text{[math]}$ 函数”，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数的周期性; 利用导数研究函数的单调性; 含三角函数的复合函数的周期;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）

(1) 求 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试讨论 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求k的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 a > 0 ．

(1) 当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；

(2) 记函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，

①求实数 a 的取值范围；

②证明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通