【例题讲解】因式分解：．为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立．等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，解得，．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】

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1. 【例题讲解】因式分解： $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想 $\text{[math]}$ 可以分解成 $\text{[math]}$ ，

展开等式右边得： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 恒成立．

$\text{[math]}$ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

【方法归纳】

设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．

【学以致用】

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有一个因式是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及另一个因式．

(3) 若多项式 $\text{[math]}$ 有因式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值

【考点】

多项式乘多项式; 因式分解的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 先阅读下列解答过程：已知 $\text{[math]}$ 有一个因式 $\text{[math]}$ ，求m的值．

解：可以设为一个因式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$

由此得： $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ﹔也可以采用另一种方式：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ．然后解答问题：

(1) 已知 $\text{[math]}$ 有一个因式 $\text{[math]}$ ，则另一个因式为___________；

(2) 已知 $\text{[math]}$ 有一个因式 $\text{[math]}$ ，求m的值；

(3) 已知多项式 $\text{[math]}$ 有一个因式 $\text{[math]}$ ，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果．

解答题普通

2. 综合与实践

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．

【实践操作】如下图我们通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．

（1）如图1，在一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体中挖出一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体，再把剩余立体图形切割（如图2），得到三个长方体①、②、③（如图3）．易得长方体①的体积为 $\text{[math]}$ ．则长方体②的体积为______，长方体③的体积为______（结果不需要化简）．

则因式分解 $\text{[math]}$ ______．

【拓展延伸】

（2）尝试因式分解： $\text{[math]}$

解答题普通

3. 阅读材料，完成下列问题．

材料：已知多项式 $\text{[math]}$ 有一个因式是2x＋1，求m的值．

解法一：设 $\text{[math]}$ ，

则： $\text{[math]}$ ，

比较系数得： $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

解法二：设 $\text{[math]}$ （A为整式）；

由于上式为恒等式，为方便计算了取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．

(1) 已知多项式 $\text{[math]}$ 有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；

(2) 已知多项式 $\text{[math]}$ 除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．

解答题困难