姚江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象.经研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用.假设在适宜的条件下，1株水葫芦每5 天就能繁殖出1株新的水葫芦(不考虑死亡、被打捞等其他因素).

1. 姚江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象.经研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用.假设在适宜的条件下，1株水葫芦每5 天就能繁殖出1株新的水葫芦(不考虑死亡、被打捞等其他因素).

(1) 假设江面上现有1株水葫芦，第15天江面上将有株水葫芦，第50天江面上将有株水葫芦，第5n天江面上将有株水葫芦；

(2) 假定在某段流域内的水葫芦维持在1280株以内(含1280株)对水质净化是有益的，若现有10株水葫芦，请你计算一下，按照上述的生长速度，多少天后会有1280株水葫芦.

【考点】

探索数与式的规律; 有理数的乘方法则; 有理数乘方的实际应用;

【答案】

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解答题普通

1. 仔细观察下列等式：

第一个： $\text{[math]}$ 第二个： $\text{[math]}$ 第三个： $\text{[math]}$

第四个： $\text{[math]}$ ……

(1) 请你写出第六个等式：___________；

(2) 请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）；

(3) 运用上述规律，计算： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 观察下面三行数

$\text{[math]}$ ， 9， $\text{[math]}$ ， 81，…；①

1， $\text{[math]}$ ， 9， $\text{[math]}$ ， …；②

$\text{[math]}$ ， 10， $\text{[math]}$ ， 82，…；③

(1) 第①行数的第5个数为_____，第②行数的第5个数为_____，第③行数的第5个数为_____；

(2) 若设第一行的第 $\text{[math]}$ 个数是 $\text{[math]}$ ，则第二行的第 $\text{[math]}$ 个数是_____（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为第①②③行的第2024个数，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 问题：你能比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 这两个数的大小吗？

为了解决这个问题，我们可以先写出它的一般形式，即比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （n为正整数）的大小，然后，我们从分析 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．

(1) ① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 从第（1）题的结果归纳，猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系；

(3) 根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小．

解答题普通