某同学研究过山车模型，设计图甲所示轨道，一物块放置在水平台面上，在水平推力的作用下，物块从坐标原点由静止开始沿轴正方向运动，与物块的位置坐标的关系如图乙所示。物块在处从平台飞出，同时撤去，物块恰好由点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后刚好从轨道最高点飞出。已知物块质量，物块与水平台面间的动摩擦因数为，轨道圆心为，半径为，为竖直直径，，重力加速度，，，不计空气阻力。求：

1. 某同学研究过山车模型，设计图甲所示轨道，一物块放置在水平台面上，在水平推力 $\text{[math]}$ 的作用下，物块从坐标原点 $\text{[math]}$ 由静止开始沿 $\text{[math]}$ 轴正方向运动， $\text{[math]}$ 与物块的位置坐标 $\text{[math]}$ 的关系如图乙所示。物块在 $\text{[math]}$ 处从平台飞出，同时撤去 $\text{[math]}$ ，物块恰好由 $\text{[math]}$ 点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后刚好从轨道最高点 $\text{[math]}$ 飞出。已知物块质量 $\text{[math]}$ ，物块与水平台面间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ ，轨道圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为竖直直径， $\text{[math]}$ ，重力加速度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，不计空气阻力。求：

(1) 水平推力 $\text{[math]}$ 做的功及物块离开平台的速度；

(2) 物块到达 $\text{[math]}$ 点速度及物块在圆轨道上运动时克服摩擦力做的功。

【考点】

生活中的圆周运动; 动能定理的综合应用;

【答案】

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解答题普通

1. 转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，他设计了一个实验。

如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

(1) 圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求：

a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω₀；

b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。

(2) 通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L₁；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L₂。

a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图；

b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比较L₁和L₂的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的说明）

解答题普通

2. 如图1某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球运动起来，最终在水平面内做匀速圆周运动。已知轻绳能承受的最大拉力为2mg，握绳的手离地面高度为6l，手与球之间的绳长为l，重力加速度为g，忽略空气阻力。

(1) 当绳与竖直方向的夹角为 $\text{[math]}$ ，且绳子的拉力小于最大值，求小球运动的周期；

(2) 当小球的速度大小为 $\text{[math]}$ 时，轻绳刚好断掉，求此时小球速度大小 $\text{[math]}$ 和这种情况下小球落地前瞬间的速度大小 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2保持手的高度不变，改变绳长，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最低点时绳子刚好拉断，要使小球抛出的水平距离最大，最大水平距离为多少？

解答题困难

3. 如图所示，不可伸长的轻质细线下端悬挂一可视为质点的小球，另一端连在竖直光滑墙面上的O点，小球静止于A点。将一钉子垂直钉在墙面的某位置N点，O、N连线与竖直方向夹角为θ = 37°。现给小球一水平向右的初速度，使小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。小球经过最高点时细线的张力恰好等于小球重力。细线碰到钉子后小球以N点为圆心做圆周运动。已知小球的质量为m，细线的长度为L，重力加速度为g。求：（sin37° = 0.6）

(1) 小球初速度的大小v₀；

(2) 若N与O间的距离为0.3L，细线碰到钉子瞬间的拉力大小F_T；

(3) 若细线能够承受的最大拉力为11mg，要使细线不被拉断，N与O间的距离d应该满足什么条件？

解答题困难