如图所示，均可视为质点的小球A、B通过长为L的轻质细绳相连，小球A的下方沿着绳子方向固定一轻质弹簧（图中未画出），弹簧的长度远小于细绳的长度，现用手提着小球A，使小球B距离水平地面的高度也为L，突然松手，两小球由静止开始自由下落，接下来的运动中，所有碰撞时间均极短，弹簧始终处于弹性限度内，小球每次与地面碰撞后的速度大小均变为碰撞前的一半，已知小球A、B的总质量为M，重力加速度大小为g，不计空气阻力。

1. 如图所示，均可视为质点的小球A、B通过长为L的轻质细绳相连，小球A的下方沿着绳子方向固定一轻质弹簧（图中未画出），弹簧的长度远小于细绳的长度，现用手提着小球A，使小球B距离水平地面的高度也为L，突然松手，两小球由静止开始自由下落，接下来的运动中，所有碰撞时间均极短，弹簧始终处于弹性限度内，小球每次与地面碰撞后的速度大小均变为碰撞前的一半，已知小球A、B的总质量为M，重力加速度大小为g，不计空气阻力。

(1) 求小球B第一次着地时的速度大小 $\text{[math]}$ ；

(2) 求从松手到两小球第一次碰撞的时间t；

(3) 小球A、B的质量满足什么关系时，可使弹簧压缩至最短？最短时的弹性势能为多少？

【考点】

碰撞模型;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，质量为M的轨道乙放置在光滑的水平面上，其由两个相同的光滑的四分之一圆弧轨道AB、CD和水平轨道BC组成，圆弧轨道的半径为R，水平轨道BC的长度为L，质量为m的物块甲放置在轨道上的B点。现将物块甲拿到A点后静止释放，物块甲第一次冲上圆弧轨道CD后返回B点时速度刚好减为零。已知 $\text{[math]}$ ，重力加速度为g。

(1) 求上述过程中轨道乙的位移大小x₁和物块甲与轨道乙BC部分的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ；

(2) 若将物块甲放置在B点，给其一个水平向右的速度 $\text{[math]}$ ，物块甲从B点开始到第一次返回C点的时间为t，求：

①物块甲第一次运动到D点的速度大小 $\text{[math]}$ ；

②在时间t内，轨道乙的位移大小 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

2. 如图所示，质量 $\text{[math]}$ 、半径 $\text{[math]}$ 的光滑圆弧轨道静止于光滑水平面，O为圆心，C为轨道最低点；在其左侧地面上静置一质量 $\text{[math]}$ 、长为 $\text{[math]}$ 的水平木板，木板上表面与圆弧轨道C点等高。某时刻，质量 $\text{[math]}$ 的滑块以速度 $\text{[math]}$ 从木板左端滑上，当木板与轨道碰撞时，滑块与木板恰好共速。已知木板碰后与轨道粘合在一起，木板与滑块之间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，重力加速度 $\text{[math]}$ ，滑块可视为质点，求：

(1) 开始运动至滑块与木板共速的过程中产生的热量Q；

(2) 滑块能够上升的最大高度h。

解答题困难

3. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 $\text{[math]}$ 的直轨道AB，半径 $\text{[math]}$ 、圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧BCD，半径为R、圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧DE组成，轨道间平滑连接。在轨道末端E点的右侧光滑水平地面FG上紧靠着质量 $\text{[math]}$ 的滑板b，其上表面与轨道末端E所在的水平面齐平。水平地面上距滑板右侧足够远处固定有挡板GH，滑板b与其碰撞时会立即被锁定。质量为 $\text{[math]}$ 的物块a从轨道AB上距B高度为 $\text{[math]}$ 处以初速度 $\text{[math]}$ 下滑，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块a与轨道AB间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，与滑板b间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ 。（其他轨道均光滑，物块a视为质点，不计空气阻力， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）。

(1) 若初速度 $\text{[math]}$ ，求物块a

①第一次通过D点时速度 $\text{[math]}$ 大小；

②在轨道AB上运动的总路程S。

(2) 若物块a能沿轨道冲上滑板b，则

① $\text{[math]}$ 应满足什么条件？

②滑板b至少要多长，物块a一定不会碰到挡板GH？

解答题困难