如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形，，逆时针排列）．已知，．

1. 如图所示， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 逆时针排列）．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为正三角形，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 圆与三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

(1) 如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=；

(2) 如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

(3) 如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

综合题困难

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= $\text{[math]}$ ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

(1) 求证：点E到AC的距离为一个常数；

(2) 若AD= $\text{[math]}$ ，当a=2时，求T的值；

(3) 若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

综合题普通