在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.

1. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，每局比赛都是相互独立的.

(1) 求比赛只需打三局的概率；

(2) 已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

【考点】

互斥事件的概率加法公式;

【答案】

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解答题容易

1. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以 $\text{[math]}$ 取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为 $\text{[math]}$ .

(1) 求中国队以 $\text{[math]}$ 的比分获胜的概率；

(2) 求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

(3) 求至多进行四场比赛的概率.

解答题困难

2. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ .

(1) 决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设 $\text{[math]}$ ，且每局比赛相互独立.

（i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率；

（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.

解答题困难

3. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙队每位球员罚进点球的概率均为 $\text{[math]}$ .假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1) 求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2) 若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以 $\text{[math]}$ 领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．

解答题普通