如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在x轴上，A，C两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线 $\text{[math]}$ 匀速运动，设点P运动时间为t．

(1) 求A、C两点的坐标；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的一半时，求t的值；

(3) 当P在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，在y轴上是否存在点Q，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

坐标与图形性质; 三角形全等及其性质; 算术平方根的性质（双重非负性）;

【答案】

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解答题普通

1. 综合与探究

已知：在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且a，b满足 $\text{[math]}$ ，点C在x轴正半轴， $\text{[math]}$ ．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交射线 $\text{[math]}$ 于点M，交y轴于点N．

(1) 点A的坐标为__________，点B的坐标为__________．

(2) 当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时（不含端点），如图②所示，求线段 $\text{[math]}$ 的长度（用含t的式子表示）．

(3) 在（2）条件下，若 $\text{[math]}$ ，则t的值为__________．

(4) 若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与 $\text{[math]}$ 全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 在原点，将其绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，若顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在点 $\text{[math]}$ 处．则① $\text{[math]}$ 的长为______；②点 $\text{[math]}$ 的坐标为______（直接写结果）

（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角 $\text{[math]}$ 如图放置，直角顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，试求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式．

（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点．问是否存在以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标，若不存在，请说明理由．